天體力學(xué)定性理論

tianti lixue dingxing lilun

天體力學(xué)定性理論

qualitative theory in celestial mechanics

?? 主要研究天體在長(zhǎng)時(shí)間（包括趨于無窮）內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及軌道在運(yùn)動(dòng)方程奇點(diǎn)（無窮大值、多值或不定值）附近的性質(zhì)，為龐加萊等人在二十世紀(jì)所創(chuàng)立。這里所說的長(zhǎng)時(shí)間是相對(duì)的，視各種具體情況而定，如對(duì)于離地面很近的（500公里以下）人造衛(wèi)星來說,幾個(gè)月就算很長(zhǎng)了；而對(duì)于大行星來說，幾千年也不算長(zhǎng)。由于電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，一些定性結(jié)論，如俘獲問題和特殊軌道的存在性等，可用數(shù)值方法來判定。天體力學(xué)定性理論也屬于數(shù)學(xué)中常微分方程定性理論的范疇，不少數(shù)學(xué)家也對(duì)此進(jìn)行過研究。這種理論近二十年發(fā)展較快，主要是針對(duì)三體問題，大致可歸納為三方面。

研究天體在緊密接近時(shí)軌道劇烈變化的情況這可以分為兩類問題：一類是碰撞問題，研究碰撞前后的軌道變化。此時(shí)天體間距離趨于零，運(yùn)動(dòng)方程（分母中有距離的因子）出現(xiàn)奇點(diǎn)。如果能找到一種辦法，使奇點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)方程中消去，這種過程就稱為正規(guī)化。到目前為止的研究表明：二體碰撞可以正規(guī)化，碰撞前后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)類似于彈性碰撞。三體碰撞還不能正規(guī)化，故在討論三體問題的解時(shí)，要回避三體碰撞情況(見變換理論)。

另一類是俘獲和交換問題。若三個(gè)天體中有一個(gè)天體的軌道原來是雙曲線軌道（相對(duì)于三個(gè)天體的質(zhì)量中心），在緊密接近后變?yōu)闄E圓軌道，這種情況稱為俘獲；如果另一個(gè)天體與此同時(shí)從橢圓軌道變成雙曲線軌道，則稱為交換。俘獲和交換問題在天體演化研究和人造天體軌道設(shè)計(jì)中都起著重要作用（見俘獲理論）。

研究運(yùn)動(dòng)的全局性質(zhì)所謂全局是指全部時(shí)間范圍，即從負(fù)無窮到正無窮。當(dāng)時(shí)間趨于正無窮時(shí)，有16種運(yùn)動(dòng)類型；而時(shí)間趨于負(fù)無窮時(shí)，也同樣有16種類型。因此，從全局看來,時(shí)間由負(fù)無窮到正無窮時(shí),可以組合成為16=256種運(yùn)動(dòng)類型。如果在時(shí)間趨于正負(fù)無窮時(shí),都至少有一個(gè)天體趨于無窮遠(yuǎn)，則相應(yīng)各種類型運(yùn)動(dòng)的條件基本上都已建立。

在有限型的運(yùn)動(dòng)中，對(duì)一些特殊軌道的存在性和穩(wěn)定性的研究占有重要地位。其中討論得最多的是周期軌道(軌道是閉曲線)和擬周期軌道（軌道永遠(yuǎn)在某一個(gè)確定的閉曲面上，如環(huán)面）。周期解理論是由龐加萊等人建立的，現(xiàn)已成為天體力學(xué)中相對(duì)獨(dú)立的研究領(lǐng)域。擬周期軌道雖然在二十世紀(jì)初就已提出，但直到六十年代以后，才受到重視。卡姆(KAM)理論的重大成果之一,就是證明在一定條件下存在擬周期軌道，并用它來探討太陽(yáng)系的穩(wěn)定性問題，從概率意義上認(rèn)為太陽(yáng)系是穩(wěn)定的。

在運(yùn)動(dòng)全局性的研究中，三體問題的運(yùn)動(dòng)區(qū)域問題在七十年代有重大發(fā)展，美國(guó)和中國(guó)的天文學(xué)家都分別用拓?fù)鋵W(xué)方法解決了一般三體問題流形M的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)問題。還有不少人探討了三體相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的傾角和緯度變化范圍。