天體力學(xué)定性理論
天體力學(xué)定性理論
qualitative theory in celestial mechanics
?? 主要研究天體在長(zhǎng)時(shí)間(包括趨于無窮)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及軌道在運(yùn)動(dòng)方程奇點(diǎn)(無窮大值、多值或不定值)附近的性質(zhì),為龐加萊等人在二十世紀(jì)所創(chuàng)立。這里所說的長(zhǎng)時(shí)間是相對(duì)的,視各種具體情況而定,如對(duì)于離地面很近的(500公里以下)人造衛(wèi)星來說,幾個(gè)月就算很長(zhǎng)了;而對(duì)于大行星來說,幾千年也不算長(zhǎng)。由于電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展,一些定性結(jié)論,如俘獲問題和特殊軌道的存在性等,可用數(shù)值方法來判定。天體力學(xué)定性理論也屬于數(shù)學(xué)中常微分方程定性理論的范疇,不少數(shù)學(xué)家也對(duì)此進(jìn)行過研究。這種理論近二十年發(fā)展較快,主要是針對(duì)三體問題,大致可歸納為三方面。
研究天體在緊密接近時(shí)軌道劇烈變化的情況這可以分為兩類問題:一類是碰撞問題,研究碰撞前后的軌道變化。此時(shí)天體間距離趨于零,運(yùn)動(dòng)方程(分母中有距離的因子)出現(xiàn)奇點(diǎn)。如果能找到一種辦法,使奇點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)方程中消去,這種過程就稱為正規(guī)化。到目前為止的研究表明:二體碰撞可以正規(guī)化,碰撞前后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)類似于彈性碰撞。三體碰撞還不能正規(guī)化,故在討論三體問題的解時(shí),要回避三體碰撞情況(見變換理論)。
另一類是俘獲和交換問題。若三個(gè)天體中有一個(gè)天體的軌道原來是雙曲線軌道(相對(duì)于三個(gè)天體的質(zhì)量中心),在緊密接近后變?yōu)闄E圓軌道,這種情況稱為俘獲;如果另一個(gè)天體與此同時(shí)從橢圓軌道變成雙曲線軌道,則稱為交換。俘獲和交換問題在天體演化研究和人造天體軌道設(shè)計(jì)中都起著重要作用(見俘獲理論)。
研究運(yùn)動(dòng)的全局性質(zhì)所謂全局是指全部時(shí)間范圍,即從負(fù)無窮到正無窮。當(dāng)時(shí)間趨于正無窮時(shí),有16種運(yùn)動(dòng)類型;而時(shí)間趨于負(fù)無窮時(shí),也同樣有16種類型。因此,從全局看來,時(shí)間由負(fù)無窮到正無窮時(shí),可以組合成為16
=256種運(yùn)動(dòng)類型。如果在時(shí)間趨于正負(fù)無窮時(shí),都至少有一個(gè)天體趨于無窮遠(yuǎn),則相應(yīng)各種類型運(yùn)動(dòng)的條件基本上都已建立。
在有限型的運(yùn)動(dòng)中,對(duì)一些特殊軌道的存在性和穩(wěn)定性的研究占有重要地位。其中討論得最多的是周期軌道(軌道是閉曲線)和擬周期軌道(軌道永遠(yuǎn)在某一個(gè)確定的閉曲面上,如環(huán)面)。周期解理論是由龐加萊等人建立的,現(xiàn)已成為天體力學(xué)中相對(duì)獨(dú)立的研究領(lǐng)域。擬周期軌道雖然在二十世紀(jì)初就已提出,但直到六十年代以后,才受到重視。卡姆(KAM)理論的重大成果之一,就是證明在一定條件下存在擬周期軌道,并用它來探討太陽(yáng)系的穩(wěn)定性問題,從概率意義上認(rèn)為太陽(yáng)系是穩(wěn)定的。
在運(yùn)動(dòng)全局性的研究中,三體問題的運(yùn)動(dòng)區(qū)域問題在七十年代有重大發(fā)展,美國(guó)和中國(guó)的天文學(xué)家都分別用拓?fù)鋵W(xué)方法解決了一般三體問題流形M
的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)問題。還有不少人探討了三體相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的傾角和緯度變化范圍。
參考書目
C.L.Siegel and J.K.Moser,Lectures on Celestial Mechanics,Springer-Verlag,Berlin,1971.
Y.Hagihara,Celestial Mechanics,Vol.V,MIT Press,Cambridge,1976.








